TEMA 8 Aptdº 1
- MOVIMIENTOS ASCENSIONALES-VELOCIDAD ORBITAL Y DE ESCAPE
Entrada nº 40 del blog: ensayocosmologico.blogspot.com bayodjose@gmail.com
Hasta la revolución newtoniana, no era posible, teóricamente
y menos en la práctica, salir de nuestra Tierra. Solo las leyendas;Las
religiones;Las pinturas rupestres, hablan de y dibujan, objetos volantes, que venían del exterior terrestre. Recordemos el viaje del profeta Elías, siglo IX a.d.C citado en el Antiguo Testamento,
en el que se cita que: “Un carro de fuego bajó del espacio y se llevó al
profeta Elías, supuestamente a los cielos, envuelto en gran remolino de fuego”.
También Jesús y La Virgen María lo
hicieron, incluso físicamente, según el N.T. (Nuevo Testamento)
En
todas religiones y culturas tenemos ejemplos muy parecidos de estos misteriosos
objetos volantes.
A partir de las “leyes
de Newton”, viajar por el sistema solar y salir de La Tierra, ya era
posible. Al menos en teoría. Solo se requería la tecnología adecuada para
hacerlo. Ésta vendría más adelante.
De momento, estudiaremos el comportamiento de un objeto que
es lanzado desde tierra hacia el exterior terrestre o de otro planeta
cualquiera, pues todos se rigen por las mismas leyes universales: O sea:
Movimientos
ascensionales. (Tomamos como ejemplos la tierra).
1º) Supuesto
Antes de entrar en materia, y para formular las leyes de las
trayectorias posibles, estableceremos los siguientes conceptos y premisas.
PREMISAS
-La Tierra está fija
ES decir, la consideramos objeto inercial.
-El sistema de
coordenadas “XYZ” de referencia, tiene su origen en el centro de la tierra
-El observador de los
movimientos y trayectos, está fijo a la tierra y por tanto, se mueve con ella
en el sistema “XYZ”.
-Estableceremos el
concepto de: “Energía potencial gravitatoria” de un objeto, respecto a la
superficie de la tierra y respecto a su centro.
-En la “Energía cinética” del objeto lanzado,
no se tiene en cuenta la traslación de la tierra.
-No se tienen en cuenta
los efectos gravitacionales de la luna ni del sol.
-En ciertos casos, no
consideramos la variación de la gravedad con la altura “h”. (Aunque en las
ecuaciones va implícita esta variación (Como en la energía potencial;
Desaceleración en el ascenso etc.)
NOTA:
Con todas estas
condiciones y limitaciones de los cálculos, solo pretendo, aparte de ser de
alta complejidad, establecer los conceptos y ecuaciones newtonianas más usuales
en los casos expuestos. Tener en cuenta todos parámetros que intervienen, sería propio de un texto de astronomía. Cosa que no pretende este libro. Ya
he dicho reiteradamente, que este libro solo pretende hacer pensar y tratar de
comprender los fenómenos y problemas del universo.
En primer lugar hacemos un esquema simple de las posibles
trayectorias y destinos del objeto lanzado hacia el exterior, según las premisas de partida.
Lo vemos en la Fig. 8-1
1º Caso)
Comenzaremos exponiendo el ejemplo más simple:
-El objeto de peso “Q” y masa “m”= Q/9,8, se encuentra parado a una altura “h” de la superficie de la tierra.
Si el objeto se suelta, caerá a tierra, realizando un
trabajo “T” equivalente a:
La fuerza de gravedad,
por el espacio recorrido “h” en el
mismo sentido que la fuerza.
Fg=Q=m.g (g=
aceleración de la gravedad= 9,8m/sg.2)
Trabajo” T” = Fg.h =m.g.h
Mientras el objeto no caiga, la energía, o trabajo que
desarrollaría cayendo, se encuentra en estado “Potencial” equivalente
al trabajo que “Fg” realizaría a lo largo de “h”.
Recordemos una regla fundamental de la física:
La energía de un sistema aislado, ni se
pierde ni se crea de la nada. Solo pasa de un estado a otro, siendo su suma
constante en la transferencia de una a otra.
La Energía potencial del objeto será: T= Ep=mxgxh
Si se deja caer al objeto, recorrerá el espacio “h”
adquiriendo una velocidad de caída con aceleración “g”. La velocidad “Vf”
final de llegada será, según ya sabemos:
Vf
=raiz cuadrada de 2.g.h
y habrá adquirido
una energía de velocidad o cinética
Ec=1/2(m.Vf2)
Vf=g.t
= (aceleración “g” x el tiempo ”t” de caída: t=Vf/g)
-Vemos
que la velocidad y el tiempo de caída vertical, son independientes del
peso/masa del objeto.
-Tampoco
depende del ángulo de lanzamiento. Solo de su componente vertical.
Al caer el objeto, su energía acumulada potencial, se ha
convertido en cinética, siendo ambas iguales.
Ep=Ec m.g.h=1/2(m.Vf2) → g.h=(1/2)Vf2
Por el contrario, si lanzamos un objeto
en dirección vertical hacia arriba, irá disminuyendo su velocidad “Vf”,
ya que está sometido a la aceleración negativa de gravedad (-g). (Movimiento
uniformemente desacelerado). Hasta que:
Su “Ec” sea “0= (V0)”
-Su
“Ec”(Energía cinética) se habrá transformado en “Ep” (Energía potencial), cuando haya alcanzado la altura “h” en el tiempo “t”:
-Ambas
energías, según lo dicho, son iguales, pues la energía no cambia, solo se
transforma.
Veámoslo en la fig.8-2a (Trayectoria vertical) y 8-2b (Trayectoria inclinada)
NOTA: Luego veremos, que a una
determinada velocidad, el objeto ya no vuelve a tierra, como indican las
trayectorias T2 y T3 de la Fig. 8-1 Analizaremos
cuales son las condiciones para que esto ocurra
2º Caso)
PREMISAS:
-La
tierra rota.
-El
sistema de referencia “XYZ” rota con ella.
-El
observador está fijo respecto a esta rotación. Es decir: No rota
Este caso solo varía respecto al
anterior, en que tenemos que añadir la velocidad de rotación inercial “Vr”,
que la tierra imprime al objeto.
Fig. 8-3
3º Caso
TRAYECTORIA “T2” ELÍPTICA -VELOCIDAD ORBITAL
PREMISAS:
No tenemos en cuenta la
componente de velocidad de arrastre, debida a la traslación de la tierra
alrededor del sol, ni otros movimientos, como el giroscópico, nutación etc. El razonamiento sería
el mismo que el que exponemos, añadiendo dichas velocidades a la suma de los
vectores.
-No tenemos en cuenta el
rozamiento del aire
El problema completo, es
tremendamente complejo y requiere de complicadas ecuaciones integrales, pues
todos los parámetros intervinientes, son continuamente cambiables. Este libro solo trata de
entender los conceptos que determinan estos fenómenos.
La componente de las velocidades ascensionales verticales,
en este caso, disminuye por acción de la aceleración atractiva de la gravedad,
hasta llegar a “0”. Esto sucede cuando la energía cinética ascensional-vertical
de lanzamiento, ha sido totalmente consumida.
En los casos 1º y 2º, considerábamos que el objeto caía a
tierra en trayectoria parabólica, dentro de unos límites de velocidad de
partida.
Tengamos en cuenta que, aunque la velocidad ascensional llegue a ser 0,
persisten las componentes de las velocidades tangenciales:
- Una proviene de la velocidad inercial de rotación terrestre. -Otra, de la velocidad de lanzamiento, en dirección no vertical.
La
suma de ambas, imprime una velocidad tangencial que produce una fuerza
centrífuga.
-Si
dicha fuerza centrífuga, se iguala con la atracción gravitatoria, el objeto no
retorna a tierra y queda orbitando alrededor de la ella.
Dicha
órbita no puede ser circular (Por eso hablamos de radios medios en la fig. 8-3)
por dos razones principales:
1) La tierra no es
redonda.
2) La componente de
arrastre de traslación en órbita solar, hace que obedezca las leyes de la
elipse de Kepler, por ser dicha órbita también elíptica.
3) Las atracciones
lunar y solar, influyen en ella.
Es decir. La velocidad orbital será continuamente cambiante,
siendo máxima en el perihelio, y mínima en el afelio.
Ver Fig.8-4
En ella se ve el cálculo simplificado de las condiciones del
lanzamiento de un objeto hacia el exterior de la tierra, para que éste no
retorne y quede en órbita alrededor de ella.
Haciendo los cálculos correspondientes, deduciremos que para
que el objeto quede en órbita:
-La masa del objeto no
influye en la velocidad orbital.
- El objeto se pone en
órbita a una velocidad de rotación aproximada de unos 10.900Km/h
-La altura alcanzada sería
de unos 36.000 Km. -A esta velocidad, las
fuerzas normales (Cuyas direcciones pasan por el centro de la tierra-fuerzas centrales) gravitatoria y
centrífuga se equilibran.Su momento angular es 0
-La velocidad de
lanzamiento (Libre. O sea: No propulsada) es de unos 39.000Km/h
Es obvio, que no lo podemos lanzar a la velocidad libre dada
de los 39.000Km/h. Esto
sería imposible, por la inercia, por tanto, los parámetros citados se obtienen
mediante:
- cohetes propulsados,
portadores del satélite.
Éste, (El satélite), queda libre del cohete propulsor, a una determinada
altura. Para ello, necesitamos imprimir al satélite el impulso adicional que necesita para
alcanzar la velocidad y la órbita requeridas.
Entonces,
el satélite quedará en órbita y el cohete caerá a tierra.
Para el lector
interesado en saber un poco más
La energía final del
satélite, será la cinética “Ec” menos la
potencial “Ep”consumida. (Respecto al centro de la tierra).
En la fig.8-4, hemos visto que: La fuerza centrífuga del satélite =
mxVr2/R0 y la fuerza de atracción gravitatoria
= kx(Mxm/R02 tienen que ser
iguales.
De esta igualdad se deduce
que:
(1)
Vr2= k.M/R0 (Vemos
que la masa “m” del satélite no entra en la ecuación)
La Energía cinética Ec del
satélite
(2)
“Ec”= (½)m.Vr2 Sustituyendo en (2) el valor de Vr2 de (1)
(2) “Ec”=(1/2)(k.M.m)R0:
(3)
Como la energía potencial Ep =FgxR0
= (k.M.m/R02)xR0 = (k.M.m)/R0
(Fuerza gravedad por
distancia al centro de la tierra R0)
Sustituyendo (3) en (2)
tenemos que:
La Ec
del objeto en órbita será =( ½) Ep
Ec= 1/2
de la Energía potencial Ep
Caso 4)
CAMBIO DE ÓRBITA
DEL SATÉLITE
-FIG.8-5
Premisas:
-Consideramos los radios medios de las órbitas respecto a la tierra-La tierra no es redonda.
-La órbita la
consideramos circular con este radio medio.
-No tenemos en cuenta
la gravedad de la luna ni del sol.
-No tenemos en cuenta
la translación de la tierra.
Si se dan las condiciones expuestas anteriormente, podemos elegir distintas órbitas para el objeto o satélite y colocarlos a distintas distancias de la tierra. También podemos cambiar de órbita a un satélite que ya lo esté. Para ello, no tenemos más que:
-Aportarle energía para situarlo en una órbita superior. o por el contrario:
-Restarle energía para
bajarlo de órbita.
Contemplaremos el primer caso. El segundo es idéntico pero cambiando los signos.
Fig. 8-5
En el primer caso, la energía que deberemos aportar, es la
diferencia entre la energía potencial en
"A" =Epa=k.M.m/Ra menos la de "B"=Epb = k.M.m/Rb , ya que ésta es menor, al aumentar el radio.
Dicha energía sale de la pérdida de la energía potencial que se produce en la transferencia de A a B.
"A" =Epa=k.M.m/Ra menos la de "B"=Epb = k.M.m/Rb , ya que ésta es menor, al aumentar el radio.
Dicha energía sale de la pérdida de la energía potencial que se produce en la transferencia de A a B.
La energía aportada al satélite será:
Et = (k.M.m)/(Rb-Ra)
En ambos casos se tendrán que cumplir las leyes del movimiento circular, ya tratadas en temas anteriores.
m.Va.Ra = m.Vb.Rb Momento angular, no varía
Esto se debe a que la fuerza radial aportada al satélite para el cambio, es central, luego el momento angular es “0”
En la fig. 8-5 hemos visto las condiciones necesarias para la transferencia de órbita.
Caso nº 5- O de no
retorno
VELOCIDAD DE ESCAPE
Fig.8-6
Es aquella con que lanzamos un proyectil (No propulsado) hacia arriba, de forma que dicho proyectil, ni quede en órbita, ni regrese a la tierra. Se perderá en la inmensidad del espacio, hasta que su energía E=Ec+Ep=0 (Suma de la potencial más la cinética), lo cual solo puede ocurrir si la distancia h es infinita, ya que la fuerza de la gravedad actúa a cualquier distancia, por grande que sea ésta.
Para calcularla, tenemos que igualar la energía potencial “Ep”
del objeto en la superficie de la tierra, a la cinética “Ec”
de lanzamiento.
-Ep=k.M.m/R = (1/2)m.V2 siendo:
-K= Constante
universal de Newton
-M=Masa de la tierra
-m=Masa del objeto
-V=Velocidad de
lanzamiento. Ésta no depende de la dirección en que la lancemos
-R=Radio de la tierra
En estas condiciones, la fuerza centrífuga de la componente tangencial, tanto de arrastre de la rotación, como de la componente de la velocidad de lanzamiento, será superior a la energía potencial alcanzada. Es decir:
m.V2/R > k.M.m/R2
En la Tierra V: = 40.320Km/h = 11,19 Km/seg
En la Luna: V = 3,28 Km/seg
En Marte: V = 5,27 Km/seg
PUESTA EN ÓRBITA DE UN SATÉLITE - FUNDAMENTOS BÁSICOS
Ya hemos visto que a cierta velocidad de lanzamiento de un objeto, este queda en órbita sin posibilidad de regresar a tierra. También hemos visto, que si lo lanzamos a 39.000Km/h quedaría en una órbita de radio medio 36.000 Km.
Lanzar un satélite, (Sin propulsión-Velocidad libre) con estas condiciones es absolutamente impensable. El impulso necesario, sería tan enorme, que no habría objeto capaz de soportarlo sin prácticamente desintegrase en el despegue. De ello se colige que:
-El satélite debe de ser transportado, en condiciones de velocidad, aceleración etc. permisibles por la tecnología.
La cantidad de posibilidades de radios/velocidades/energías/trayectorias etc. que podemos elegir para poner un satélite en órbita, son altamente variadas. Solo necesitamos que se cumplan las leyes que hemos expuesto anteriormente, bajo el punto de vista de la mecánica newtoniana.
Vamos a tratar el asunto, eligiendo unos valores aleatorios, cuya intención solo nos servirá de ejemplo, pues la variedad de ellos es infinita.
En primer lugar, podemos clasificar las órbitas en tres rangos, según su radio orbital, que son los normales en uso.
-Órbitas de baja cota: 2.000Km
-Órbitas medias: De 2.000Km a
35.300Km aproximadamente.
-Órbitas de alta cota: De
35.300Km a 39.00Km.
Como caso particular tenemos:
-“Órbita estacionaria” en la que el satélite está en un punto fijo respecto a la vertical de la tierra.
Esta se produce a una altura de 36.000Km, con una velocidad orbital de 10.900Km/h
Proceso de lanzamiento:
Debemos disponer de un cohete o lanzadera, cuya misión es elevar al satélite a una determinada cota y a una determinada velocidad y ángulo de incidencia de entrada.
Debido a la gran energía que hay que utilizar para vencer las energías potenciales y cinéticas, así como las altas velocidades de transporte, dicho cohete deberá de disponer de 3 cuerpos de combustible (Normalmente), que impulsarán al satélite en tres fases, a la velocidad y altura requeridas. El tiempo de recorrido total del cohete, puede prolongarse durante 1h o más (Según velocidad y aceleración requeridas).
El 1º
cuerpo, se desprende una vez acabado su combustible, con lo cual, eliminamos
masa y por tanto ahorro de combustible, al liberarse de este peso muerto.
Lo mismo sucede con el 2º y 3º cuerpos.
Lo mismo sucede con el 2º y 3º cuerpos.
Estas tres fases imprimen al satélite una velocidad aproximada de 7 Km/sg = 25.200 Km/h.
La altura a que el cohete abandona al satélite puede estar entre 2.000 y 5.000 Km como referencia. Pueden ser otras muchas.
A partir de aquí, los tres módulos del cohete van cayendo a tierra, pues no alcanzan la velocidad orbital y por tanto caen en trayectoria parabólica, tal como ya se ha expuesto anteriormente.
Las trayectorias de caída requieren condiciones de cálculo muy severas, con objeto de que los restos no caigan en tierra, pudiendo provocar una catástrofe. Por razones de seguridad, caen al océano y son recuperadas.
-La plataforma de lanzamiento debe de ser lo suficientemente estable, para que el cohete, al despegar no sufra desviación. -El tiempo atmosférico debe de ser idóneo. De lo contrario, cualquier perturbación, también afectaría a la trayectoria del cohete.
Todos los detalles, son de primordial importancia para el éxito de la operación. El proceso es extraordinariamente delicado. Solo tenemos que ver los años y fracasos que les costó a los rusos y americanos (Serie de cohetes fallidos Vanguard), por los años 1960, hasta conseguir el éxito de colocar un satélite en órbita.
Esté éxito lo lograron primero los rusos poniendo en órbita el famoso satélite Sputnik-1, el 4 de octubre de 1957. De 83,6 Kg de peso. Lanzado por el cohete denominado R-7. Su órbita era de 938 Km de apogeo y 214 Km de perigeo.
Seguimos:
A partir de que el satélite se desprende del cohete propulsor, debe de seguir su camino hasta la órbita destinada. Para ello es necesario aportarle una energía complementaria que contrarreste la pérdida de energía potencial en la órbita final.
El satélite debe de disponer de combustible suficiente, que actuando sobre varias toberas a reacción (Entre 12 y 24), lance al satélite hasta su órbita. El hecho de disponer de varias toberas se debe a que, el cálculo correcto de la trayectoria es tan complejo, que debe de ser posible ser corregido desde el centro de control en tierra.
Lo vemos someramente en la Fig.8-7
El lanzamiento desde puntos próximos al ecuador ahorra combustible, pues se aprovecha la velocidad inercial de la rotación terrestre (1.700Km/h)
En la fig. 8-8 hacemos un ejemplo aleatorio sobre este ahorro, suponiendo:
NOTA: No tenemos en cuenta en este ejemplo de la diferencia de gravedad existente entre los dos paralelos de “A” y “B”, dado que ambos radios terrestres no son iguales. Consideraremos un radio medio de la tierra de 6.367 Km.
Caso 1-Lanzamiento desde el punto “A” en el ecuador.
-En él, la velocidad tangencial de arrastre inercial de la tierra es de 1.700Km/h,
-La velocidad del cohete la
suponemos 1,44Km/seg = 5.200Km/h
-La velocidad resultante del
cohete será la suma vectorial de ambas=5.471Km/h
Caso 2-Lanzamiento desde el punto “B” de un paralelo más al norte.
-En él, la velocidad tangencial de arrastre inercial de la tierra la suponemos de 1.000Km/h,
-La velocidad del cohete,
igual que en el caso anterior, la suponemos 1,44Km/seg = 5.200Km/h
-La velocidad resultante del
cohete será la suma vectorial de ambas=5.295Km/h
Comparando la energía cinética necesaria en cada caso, vemos que lanzando desde “A” se consigue un 3,33% más de energía que en “B”, con el mismo consumo del cohete.
Veamoslo en la fig. 8-8
Caso
particular:
ÓRBITA
ECUATORIAL ESTACIONARIA
En la
figura 8-9 vemos las condiciones para que un satélite está en órbita
estacionaria en el plano ecuatorial
En
ella vemos que tenemos que sincronizar la velocidad angular del satélite con la
de la tierra. El resto de condiciones, son las mismas ya desarrolladas en este
tema.
Fig.
8-9
Entrada no 40 -Tema 8-1 -Movimientos ascensionales-Órbitas
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