Entrada nº 43 Tema 8-4 Interacción entre dos masas -Sistema tierra-sol-luna

TEMA 8 Aptdº 4  SISTEMAS AISLADOS DE  DOS CUERPOS

 SISTEMA “TIERRA - LUNA”-“SOL-TIERRA”- “SOL-TIERRA-LUNA”

Entrada nº 43 del blog: ensayocosmologico.blogspot.com

                                      bayodjose@gmail.com

La ecuación de la gravedad de Newton, determina la atracción entre dos cuerpos (Dos masas y una distancia entre ellas)                                                                                    Si estudiamos el comportamiento de sistemas formados por más de dos cuerpos, la determinación de sus movimientos se hace enormemente compleja.  Solo considerando un sistema de 3 cuerpos aislados, la resolución de su comportamiento se torna muy complicada. Se pueden plantear las ecuaciones de movimiento, pero su resolución es muy difícil. Dado el continuo cambio de distancias y velocidades, se entra en un sistema caótico, que exige la aplicación de matemáticas diferenciales y complicadas de la física del "caos".

SISTEMA DE DOS CUERPOS GRAVITANDO MUTUAMENTE

Vamos a ver a continuación, las distintas posibilidades que se pueden dar, considerando solo la interacción de 2 cuerpos.                                             

Lo que deduzcamos, lo aplicaremos al estudio del comportamiento de los sistemas: Luna-Tierra y por extensión, Tierra-Sol, considerándolos como sistemas aislados, para mejor entendimiento de sus leyes.

De no partir de esta consideración, el problema al que nos enfrentaríamos, sobrepasaría en mucho el propósito de este libro, pues supondría la mecánica de tres o más cuerpos interactuando entre sí, cuya complicación hemos citado.

Sistema aislado Tierra-Luna

La experiencia diaria, nos hace creer:                                                 

-Que la tierra está fija con respecto a la luna.(Sistema coordemadas fijo con centro el de la tierra                          

(Obviamos los demás movimientos de la tierra).

-Que la luna gira en torno al centro de la tierra invariablemente.

-Que, unas veces la vemos grande y roja-anaranjada y otras pequeña y blanca.

Esto podría llevarnos a pensar, con no poca lógica, que:                     

-Unas veces está más cerca y otras más lejos de la tierra.                   

Ya que se da por hecho que:                                                                       

-La luna no cambia de tamaño.

El hecho de verla unas veces más  grande que otras, se debe a ilusiones ópticas ocasionados por la refracción de su luz al atravesar la atmósfera terrestre.

Pues bien:                                                                                        

La ciencia astronómica nos demuestra, que estas creencias no suelen ajustarse a una realidad objetiva.                                                                                                          Una vez más, se constata que:                                                                  

-las cosas no son como nos parecen.

-Sabemos que sus distintas formas (Media luna; Circular llena etc…, llamadas fases) se deben a  la reflexión de la luz del sol según las posiciones relativas  que ocupen tierra-luna- sol, continuamente cambiantes.

PRELIMINARES DEL SISTEMA LUNA-TIERRA

Comenzaremos estudiando los distintos comportamientos de un sistema aislado  formado por dos cuerpos A y B moviéndose en el espacio e interactuando entre ellos por efecto de la gravedad. Desarrollaremos, de la forma más sencilla posible, las leyes que los determinan.

Nota: Se trata de un recordatorio de las leyes del movimiento circular/curvilíneo de un cuerpo, ya tratado en temas anteriores, pero aplicado ahora a dos cuerpos ligados entre sí exclusivamente por su gravedad.                                                                                      

Esto nos aclarará el comportamiento del sistema “Luna-Tierra” y “Sol-Tierra( O sol-planeta-planeta satélite etc...)”;

CASO Nº 1

Consideramos los cuerpos:

A de masa  Ma y velocidad Va  y

B de masa Mb y velocidad Vb

Unidos rígidamente. Por ejemplo por una cuerda, girando a una velocidad angular ”w”

Condiciones previas del problema:

-No tenemos en cuenta la masa de la cuerda.                                         

-Suponemos que  ésta, resiste bien la tensión las fuerzas centrífugas de A y B, ambas iguales de sentido opuesto.

-El sistema está totalmente aislado de toda fuerza externa a él.

Así pues: Las únicas fuerzas que actúan son:

-Las fuerzas centrífugas de A y B.

-La fuerza de gravedad entre A y B

Ésta última, la suponemos, muy inferior a las fuerzas centrífugas, considerando que sus masas son pequeñas con respecto a la distancia entre ellos. Por  ello

-La cuerda permanece tensa.

-La tensión de la cuerda, es provocada por el tirón de las fuerzas centrífugas, dominantes respecto a la Fg (Fuerza de gravedad) mútua.

En la fig. 8-13 vemos las relaciones matemáticas que rigen a este sistema giratorio.

Fig. 8-13

En ella observamos que A y B giran alrededor de un punto:

” c.d.m” llamado centro de masas.

Se cumple que, para que el centro de masas no varíe su posición, es decir, permanezca fijo respecto al sistema, las masas Ma y Mb tienen que cumplir los siguientes postulados:

-Las fuerzas centrífugas de A y B tienen que ser iguales y de sentido contrario.

-Tienen que ser inversamente proporcionales a sus distancias a dicho c.d.m

Seguimos suponiendo que la atracción gravitatoria entre A y B es menor que la tensión de las fuerzas centrifugas.  La cuerda pues, permanece tirante (recta)

Nota:

Para los que tengan más interés por la matemática física

Fuerza centrífuga de A = Fca = Ma.Va²/Ra   (1)

Fuerza centrífuga de B = Fcb = Mb.Vb²/Rb   (2)

Ma y Mb son las masas de los cuerpos A y B respectivamente

Va y Vb las Velocidades tangenciales de A y B = Va=w.Ra             Vb =w.Rb              w = velocidad angular

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 1 y 2

Ma.w².Ra²/Ra = Mb.w².Rb²/Rb

Ma.Ra = Mb.Rb     Ma/Rb=Mb/Ra

Ra y Rb son los radios de A y B al centro de masas c.d.m

Recordemos el concepto de Momento angular.                          

Cada masa girando tiene su correspondiente momento angular.

Momento angular de A=Ma.Va.Ra      Idem  de     B = Mb.Vb.Rb

Ambos son vectores de la misma dirección y sentido, perpendiculares al plano de movimiento.

Por tanto, el momento angular del sistema AB = "Mab" es el vector  suma de ambos.

Mab(→) = Ma.Va.Ra (→)+  Mb.Vb.Rb(→)

Los dos cuerpos girarán en órbitas circulares alrededor del centro de masas m.c.d indefinidamente

CASO 2

Fig. 8-14

Hacemos los mismos supuestos que en el CASO 1

Pero ahora suponemos que la cuerda es elástica.

Supongamos que con una cuerda tiramos de los cuerpos A y B hacia el exterior respectivamente y en la misma dirección de esta cuerda. 

Aumentará por tanto la distancia entre A y B, que pasará de “d” a “D”

Tenemos ahora el mismo sistema AB girando, pero a una distancia mayor “D”.                                                                                       

Las fuerzas y velocidades de los desplazamiento de estos tirones son centrales, es decir, sus vectores pasan por los centros de gravedad y centro de masas del Sistema AB, según la afirmación anterior. Por tanto:

-Sus momentos son “0”.

Así pues,

Sean cual sean las distancias entre A y B, 

para que el sistema AB siga en equilibrio; 

-El momento total angular del sistema no variará al separarse (O acercarse) los cuerpos

-El centro de masas debe de permanecer  fijo.           

Para ello:     

 -Se deben de seguir cumpliendo, las mismas leyes que en el            

CASO 1 de la fig. 8-13, sea cual sea  la distancia entre A y B.

-El momento angular total del sistema no varía:

-Las velocidades variarán en proporción inversa a las distintas distancias.

Nota demostrativa. (Para los interesados)

Momentos angulares a distancias “d” y “D”:

“Ma.da.Va + Mb.db.Vb“ =  “Ma.Da.V`a + Mb.DbV`b”

Dado que las masas no varían, se tiene que cumplir                       

da.Va + db.Vb = Da.V`a + Db.V`b   luego 

da.Va=Da,Và           y          db.Vb = Db.V`b                                                   

Como las  “Da y Db” son mayores que las “da y db”,                                             para que se mantengan las igualdades, las velocidades

Và y V`b deben de ser menores respectivamente que “Va y Vb”

CASO 3-Posibilidad 1

Veamos 2 cuerpos A y B aislados y girando en libertad en el espacio (En este caso no están unidos por ninguna cuerda)

Al no haber un tirante que los una, se moverán libremente.                                         Las posibilidades de movimientos relativos de A y B son muchas. Estas dependerán de:

-Las masas A y B: Ma y Mb respectivamente.

-De las velocidades (Vectores) de partida Va y Vb de ambos.                                       Estas provienen de impulsos anteriores exteriores desconocidos.

-De la distancia inicial entre ambos d = (Ra+Rb).

Consideraremos solamente 3 posibilidades de interacción, entre las muchas posibles.

Posibilidad 1

Fig. 8-15

Las velocidades de ambos, tienen:                                                                

-una componente de dirección central.

 (Osea, que su dirección es la del Eje AB                                                                              

En este caso, dichas componentes son de aproximación.

-Una componente tangencial al eje AB (Vta y Vtb).                                               

Estas generan un movimiento de rotación alrededor del centro de masas “c” y por tanto una fuerza centrífuga de escape.

Según las leyes de Newton, las velocidades tangenciales de ambos (3)  (Vta y Vtb) serán:

(3) Vta =√ G.Mb/d                  √ = Raiz cuadrada                

(3) Vtb = √GMa/d

NOTA: Demostración anterior para los interesados

F centrífuga de A=Fca  y de B=Fcb

Fca = Ma(Vta)²/d =G.(Ma.Mb)/d²          (Vta)²/d= G.Mb /d²              

de donde:      Vta =√ G.Mb/d      y      Vtb=√G.Ma/d

Comportamiento posible.

Los cuerpos A y B se aproximarán por la velocidad central inicial más la que imprime la aceleración de la gravedad entre ambos. 

Mientras se aproximan:                                                                      

-La fuerza de gravedad aumenta, por tanto:

-Sus velocidades de aproximación también lo hacen.                                   

Según lo explicado anteriormente, como el momento angular no varía:

-Las velocidades tangenciales también aumentan a medida que disminuye la distancia. Ecuaciones (3)

Por tanto, también:

-Aumentará la fuerza centrífuga de escape Fc.                                       

Si esta Fc, es capaz de contrarrestar a la gravedad (Fg) en la máxima aproximación, entonces:

-A y B, a la vez que giran alrededor de “c”, se acercarán y volverán a alejarse.(Conservación del momento angular)  

Mientras se alejan ocurrirá exactamente lo contrario que antes.

NOTA: Esto sucederá según las masas y velocidades de A y B.                                   (La evolución podría ser otra).

-En este caso posible- de la Fig 8-15, A y B girarán; Se acercarán; Se alejaran; Volverán a acercarse…… y así eternamente, haciendo bucles, circulares o elípticos cumpliendo las leyes de Kepler y Newton.

Según ellas:

-El c.d.m, ocupará siempre el foco de ambas elipses cuando el movimiento es elíptico (Caso más norma).

-Las órbitas estarán en un plano (Serán planas)

Pues no tenemos fuerzas transversales a las consideradas, que las hagan salir del mismo plano.

-Los dos cuerpos girarán con la misma velocidad instantánea angular “w”. Luego:

-El eje AB girará alrededor de c.d.m con la misma “w”

Fig. 8-15ª

NOTA:Para los interesados

Vta y Vtb son las velocidades tangenciales de A y B respectivas.

Wa y Wb velocidades angulares de A y B respectivas.

Fuerzas centrífugas :

Ma.Vta²/Ra = Mb.Vtb²/Rb

Ma.Wa².Ra²/Ra=Mb.Wb².Rb²/Rb

Ma.Wa².Ra=Mb.Wb².Rb y como Ma.Ra=Mb.Rb,

Wa²=Wb²       

Wa=Wb = w

CASO 4-Posibilidad 1

En este caso,

-Las componentes centrales de las velocidades Va y Vb son de alejamiento.                                                                                                

En contra, tendremos:

-La” aceleración de aproximación”, proveniente de la gravedad.

NOTA:      Para los interesados

Fg = G(Ma.Mb) / d² = Ma.a_a = Mb.b_b  (Fuerza =masa por aceleración)   

Cálculo de las aceleraciones:      

a_a= G.Mb / d²

a_b = G.Ma / d²

Ma y Mb masas de A y B     a_a y a_b aceleraciones de A y B

(Ra+Rb) = distancia “d”

                        

Fig.8-16

Pues bien:

Si la velocidad de alejamiento del cuerpo B, es igual o mayor que la de escape respecto al cuerpo A y/o viceversa:(Explicada en temas anteriores)              

-El cuerpo B se alejará indefinidamente con una trayectoria parabólica, del cuerpo A

-Ambos cuerpos se alejará eternamente

CASO 4 Posibilidad 2

Si los cuerpos A y B, tienen una velocidad de aproximación sensiblemente menor que la de escape de uno respecto al otro:       

-Acabarán juntándose y girando ambos alrededor de su centro de masas, uno alrededor del otro formando un sistema binario.

Suponemos que sus masas no puedan colapsar por la fuerte Fg, dada su proximidad.

NOTA: Existen muchos sistemas de este tipo, tanto en planetas (Plutón-Caronte) como estrellas binarias.

Si las masas se mezclan (Poe ejemplo son gaseosas), las distancias pueden hacerse tan cortas que la Fg tiende a infinito, mientras la distancia tiende a 0.

Se produce una singularidad. O un colapso del sistema

Si las masas colapsan, se puede crear un solo cuerpo de masa Ma+Mb con consecuencias diversas, tales como:

-la formación de un  planeta*.

-la explosión y formación de una estrella*.

-La formación de un agujero negro *                                              

*(Veremos esto más adelante)

Hemos visto pues, que las posibilidades de comportamiento de dos cuerpos aislados e interdependientes por su gravedad, son muchas.                                                                                                 

Si consideramos un sistema así, pero formado por varios cuerpos (Por ejemplo: Sistema solar), la complejidad de movimientos es altamente compleja y muy difícil, o imposible de determinar con cierta exactitud.

SISTEMA BINARIO AISLADO TIERRA-LUNA

Ya hemos tratado en anteriores capítulos, la variedad de movimientos de La Tierra. Recordemos los más importantes:

-Traslación alrededor del sol

-Rotación sobre su eje NS

-Movimiento Giroscópico

-Nutación o bamboleo de su eje N.S

-Además, las perturbaciones de la órbita, debidas  a los planetas del Sistema Solar.

De todo lo expuesto anteriormente, vamos a ver que todavía la tierra tiene un movimiento mas. Se trata de un movimiento giratorio de traslación alrededor del centro de masas “Luna-Tierra”, c.d.m.

Considerando el caso 3 – posibilidad 1 - pag 8 d,e este capítulo.

-El sistema Tierra Luna cumple todas las condiciones expuestas en él.            

-Ambas giran alrededor del c.d.m. en órbitas variables. Ya que:

-La órbita lunar es una elipse (Casi circular), por tanto luna y tierra se acercan y alejan en su circunvalación.

-El apogeo lunar es de 406.000Km 

-El perigeo es 356.000Km

Figura W -4-8/2 Wikipedia retocada

Ver Fig. W 8-4/1 Wikipedia retocada. Y Fig 8-17

De todas las ecuaciones que hemos desarrollado anteriormente, podemos deducir el período de giro “T” de La Luna alrededor de la tierra. Fig. 8-17

NOTA: Para los interesados

VL = √ G.Mt/d = 1.020 m/seg = 3.672 Km.h

w =velocidad angular = VL/d = 2,66x10-6 rad./seg

VL = 2.π.d / T      T = 28,7 días

T= Período o tiempo en dar la luna una vuelta a la tierra.

Este “T” es igual al de la tierra alrededor del c.d.m

Así pues:

-La luna no gira alrededor del centro de la tierra, sino alrededor del c.d.m-centro de masas-

-Lo mismo hace la tierra y en el mismo período de 28,7 días

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ALEJAMIENTO DE LA LUNA RESPECTO A LA TIERRA

Considerando todo lo dicho a lo largo de este capítulo, la luna atrae hacia sí a las masas terrestres (hasta 20cm de abombamiento de tierra, en algunos casos, medido por satélites).                                                                                                                             Pero sobre todo, atrae y mueve, por su fluidez, a las masas oceánicas, provocando las “mareas”.                                                                                                                            Este abombamiento, se va moviendo a la vez que la luna gira, arrastrándolo y provocando una gran fricción de las masas en movimiento.                                                                                                

Esto provoca dos principales efectos mutuos:

-La tierra se va frenando debido a la energía de fricción               

                                  

Energía que pierde continuamente con estos abombamientos en continua rotación.

-Su energía de rotación disminuye, pues se consume en esa fricción (Finalmente calor)

-Cada vuelta frena su rotación, por tanto cada día es más largo.

-Llegara un momento en que luna y tierra se sincronicen y giren (Rotación terrestre) a la misma velocidad angular.

-Ya no habrá mareas y los días serán de 27,8 días

-El momento angular del sistema luna-tierra, no varíará.

Por tanto, para compensar la pérdida de momento de giro de la tierra,

-La luna debe de aumentar el suyo (Masa luna_xdistancia). Lo cual se consigue aumentando la distancia “d” ya que su masa su masa no varía.

Asi pues: 

-La luna está cada vez más lejos de la tierra

Nota: Las distancias de precisión a la luna, conseguidas con láseres incidiendo en espejos colocados por los astronautas, han detectado que dicho alejamiento es de 38mm/año

Fig W-8-4.3 Wikipedia corregido

SISTEMA  SOL-TIERRA

Los mismos argumentos utilizados para el sistema Tierra-Luna podemos utilizarlos para el sistema Tierra –Sol, con lo que los

movimientos anteriormente citados son más complejos.

Nada en la física astronómica es exacto.  Los parámetros que influyen en ella son tan numerosos que sus interacciones hacen imposible una formulación exacta. Además, tratándose de sistemas continuos, siempre en movimiento, las ecuaciones diferenciales son necesarias y aún así se pueden plantear, pero su resolución es enormemente difícil, por no decir imposible.

-El sol gira, a la vez que lo hace la tierra alrededor de su c.d.m.

Esto significa, que la tierra mueve al sol, haciéndole girar

Fig. W-8-4.4 Wikipedia reformada.

Si además consideramos la luna, el problema sigue complicándose aún más.

Fig. W 8-4.5 Wikipedia modificada.

En este caso, se produce un frenado de la rotación de la tierra, por el mismo efecto marea (Terrestre-marítima). Esto aumenta la velocidad de ralentización de la tierra.

Fig.W 8-4.6 Wikipedia modificada

Ahora imaginemos todo el sistema solar.

-¿Es posible encontrar una ecuación general que prevea todas estas quasi infinitas variantes?

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Aquí dejo la pregunta y el tema 8-4

Entrada  Nº 43   Sistema gravitacional de dos cuerpos,

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