TEMA 8 Aptdº 4
SISTEMAS AISLADOS DE DOS CUERPOS
SISTEMA “TIERRA
- LUNA”-“SOL-TIERRA”- “SOL-TIERRA-LUNA”
Entrada nº
43 del blog: ensayocosmologico.blogspot.com
bayodjose@gmail.com
La ecuación
de la gravedad de Newton, determina la atracción entre dos cuerpos (Dos masas y
una distancia entre ellas) Si estudiamos el
comportamiento de sistemas formados por más de dos cuerpos, la determinación de
sus movimientos se hace enormemente compleja. Solo considerando un sistema de 3 cuerpos aislados, la resolución de su
comportamiento se torna muy complicada. Se pueden plantear las ecuaciones de
movimiento, pero su resolución es muy difícil. Dado el continuo cambio de
distancias y velocidades, se entra en un sistema caótico, que exige la
aplicación de matemáticas diferenciales y complicadas de la física del "caos".
SISTEMA
DE DOS CUERPOS GRAVITANDO MUTUAMENTE
Vamos a ver
a continuación, las distintas posibilidades que se pueden dar, considerando
solo la interacción de 2 cuerpos.
Lo que
deduzcamos, lo aplicaremos al estudio del comportamiento de los sistemas:
Luna-Tierra y por extensión, Tierra-Sol, considerándolos como sistemas
aislados, para mejor entendimiento de sus leyes.
De no partir de esta consideración, el problema al que nos enfrentaríamos, sobrepasaría en mucho el propósito
de este libro, pues supondría la mecánica de tres o más cuerpos interactuando
entre sí, cuya complicación hemos citado.
Sistema
aislado Tierra-Luna
La
experiencia diaria, nos hace creer:
-Que la tierra está fija con respecto
a la luna.(Sistema coordemadas fijo con centro el de la tierra
(Obviamos
los demás movimientos de la tierra).
-Que la luna gira en torno al centro
de la tierra invariablemente.
-Que, unas veces la vemos grande y
roja-anaranjada y otras pequeña y blanca.
Esto podría
llevarnos a pensar, con no poca lógica, que:
-Unas veces está más cerca y otras más lejos de la tierra.
Ya que se da
por hecho que:
-La luna no cambia de tamaño.
El hecho de
verla unas veces más grande que otras,
se debe a ilusiones ópticas ocasionados por la refracción de su luz al
atravesar la atmósfera terrestre.
Pues
bien:
La ciencia
astronómica nos demuestra, que estas creencias no suelen ajustarse a una
realidad objetiva.
Una vez más, se constata que:
-las cosas no son como nos parecen.
-Sabemos que sus distintas formas
(Media luna; Circular llena etc…, llamadas fases) se deben a la reflexión de la luz del sol según las posiciones
relativas que ocupen tierra-luna- sol,
continuamente cambiantes.
PRELIMINARES
DEL SISTEMA LUNA-TIERRA
Comenzaremos
estudiando los distintos comportamientos de un sistema aislado formado por dos cuerpos A y B moviéndose en
el espacio e interactuando entre ellos por efecto de la gravedad. Desarrollaremos, de la
forma más sencilla posible, las leyes que los determinan.
Nota: Se trata de un recordatorio de las
leyes del movimiento circular/curvilíneo de un cuerpo, ya tratado en temas anteriores,
pero aplicado ahora a dos cuerpos ligados entre sí exclusivamente por su
gravedad.
Esto nos
aclarará el comportamiento del sistema “Luna-Tierra”
y “Sol-Tierra( O sol-planeta-planeta satélite etc...)”;
CASO Nº 1
Consideramos
los cuerpos:
A de masa Ma y velocidad Va y
B de masa Mb y velocidad Vb
Unidos
rígidamente. Por ejemplo por una cuerda, girando a una velocidad angular ”w”
Condiciones
previas del problema:
-No tenemos en cuenta la masa de la
cuerda.
-Suponemos que ésta, resiste bien la tensión las fuerzas
centrífugas de A y B, ambas iguales de sentido opuesto.
-El sistema está totalmente aislado
de toda fuerza externa a él.
Así pues:
Las únicas fuerzas que actúan son:
-Las fuerzas centrífugas de A y B.
-La fuerza de gravedad entre A y B
Ésta última, la suponemos, muy inferior a las fuerzas
centrífugas, considerando que sus masas son pequeñas con respecto a la distancia
entre ellos. Por ello
-La cuerda permanece tensa.
-La tensión de la cuerda, es provocada
por el tirón de las fuerzas centrífugas, dominantes respecto a la Fg (Fuerza de
gravedad) mútua.
En la fig.
8-13 vemos las relaciones matemáticas que rigen a este sistema giratorio.
Fig. 8-13
En ella
observamos que A y B giran alrededor de un punto:
” c.d.m” llamado centro de masas.
Se cumple
que, para que el centro de masas no varíe su posición, es decir, permanezca
fijo respecto al sistema, las masas Ma y Mb tienen que cumplir los siguientes postulados:
-Las fuerzas centrífugas de A y B tienen que ser iguales y de sentido contrario.
-Tienen que ser
inversamente proporcionales a sus distancias a dicho c.d.m
Seguimos
suponiendo que la atracción gravitatoria entre A y B es menor que la tensión de
las fuerzas centrifugas. La cuerda pues, permanece tirante (recta)
Nota:
Para los que tengan más interés por la matemática
física
Fuerza centrífuga de A = Fca = Ma.Va2/Ra (1)
Fuerza centrífuga de B = Fcb = Mb.Vb2/Rb (2)
Ma y Mb son las masas de los cuerpos A y B
respectivamente
Va y Vb las Velocidades tangenciales de A y B = Va=w.Ra Vb =w.Rb w = velocidad angular
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 1 y 2
Ma.w2.Ra2/Ra = Mb.w2.Rb2/Rb
Ma.Ra = Mb.Rb Ma/Rb=Mb/Ra
Ra y Rb son los radios de A y B al centro de masas
c.d.m
Recordemos el concepto de Momento angular.
Cada masa girando
tiene su correspondiente momento angular.
Momento angular de A=Ma.Va.Ra Idem de B = Mb.Vb.Rb
Ambos son vectores de la misma dirección y sentido,
perpendiculares al plano de movimiento.
Por tanto, el momento angular del sistema AB = "Mab" es
el vector suma de ambos.
Mab(→) = Ma.Va.Ra (→)+ Mb.Vb.Rb(→)
Los dos
cuerpos girarán en órbitas circulares alrededor del centro de masas m.c.d
indefinidamente
CASO 2
Fig. 8-14
Hacemos los
mismos supuestos que en el CASO 1
Pero ahora
suponemos que la cuerda es elástica.
Supongamos
que con una cuerda tiramos de los cuerpos A y B hacia el exterior respectivamente
y en la misma dirección de esta cuerda.
Aumentará por
tanto la distancia entre A y B, que pasará de “d” a “D”
Tenemos
ahora el mismo sistema AB girando, pero a una distancia
mayor “D”.
Las
fuerzas y velocidades de los desplazamiento de estos tirones son centrales, es
decir, sus vectores pasan por los centros de gravedad y centro de masas del
Sistema AB, según la afirmación anterior. Por tanto:
-Sus momentos son “0”.
Así pues,
Sean cual
sean las distancias entre A y B,
para que el sistema AB siga en equilibrio;
-El momento total angular del sistema
no variará al separarse (O
acercarse) los cuerpos
-El centro de masas debe de
permanecer fijo.
Para ello:
-Se deben de seguir cumpliendo, las mismas
leyes que en el
CASO 1 de la
fig. 8-13, sea cual sea la distancia
entre A y B.
-El momento angular total del sistema
no varía:
-Las velocidades variarán en proporción
inversa a las distintas distancias.
Nota demostrativa. (Para los interesados)
Momentos angulares a distancias “d” y “D”:
“Ma.da.Va + Mb.db.Vb“ = “Ma.Da.V`a + Mb.DbV`b”
Dado que las masas no varían, se tiene que cumplir
da.Va + db.Vb = Da.V`a + Db.V`b luego
da.Va=Da,Và y db.Vb = Db.V`b
Como las “Da y
Db” son mayores que las “da y db”, para
que se mantengan las igualdades, las velocidades
Và y V`b deben de ser menores respectivamente que “Va y
Vb”
CASO 3-Posibilidad
1
Veamos 2
cuerpos A y B aislados y girando en libertad en el espacio (En este caso no
están unidos por ninguna cuerda)
Al no haber
un tirante que los una, se moverán libremente. Las posibilidades de movimientos
relativos de A y B son muchas. Estas dependerán de:
-Las masas A y B: Ma y Mb
respectivamente.
-De las velocidades (Vectores) de
partida Va y Vb de ambos. Estas provienen de impulsos anteriores
exteriores desconocidos.
-De la distancia inicial entre ambos d
= (Ra+Rb).
Consideraremos
solamente 3 posibilidades de interacción, entre las muchas posibles.
Posibilidad
1
Fig. 8-15
Las
velocidades de ambos, tienen:
-una componente de dirección central.
(Osea, que su dirección es la del Eje AB
En este
caso, dichas componentes son de aproximación.
-Una componente tangencial al eje AB
(Vta y Vtb).
Estas
generan un movimiento de rotación alrededor del centro de masas “c” y por tanto
una fuerza centrífuga de escape.
Según las
leyes de Newton, las velocidades tangenciales de ambos (3) (Vta y Vtb) serán:
(3) Vta =√ G.Mb/d √ = Raiz cuadrada
(3) Vtb = √GMa/d
NOTA:
Demostración anterior para los interesados
F
centrífuga de A=Fca y de B=Fcb
Fca = Ma(Vta)2/d =G.(Ma.Mb)/d2 (Vta)2/d= G.Mb /d2
de
donde: Vta
=√ G.Mb/d y
Vtb=√G.Ma/d
Comportamiento
posible.
Los cuerpos
A y B se aproximarán por la velocidad central inicial más la que imprime la
aceleración de la gravedad entre ambos.
Mientras se aproximan:
-La fuerza de gravedad aumenta, por
tanto:
-Sus velocidades
de aproximación también lo hacen.
Según lo
explicado anteriormente, como el momento angular no varía:
-Las velocidades tangenciales también
aumentan a medida que disminuye la distancia. Ecuaciones (3)
Por tanto,
también:
-Aumentará la fuerza centrífuga
de escape Fc.
Si esta Fc,
es capaz de contrarrestar a la gravedad (Fg) en la máxima aproximación,
entonces:
-A y B, a la vez que giran alrededor
de “c”, se acercarán y volverán a alejarse.(Conservación del momento angular)
Mientras se
alejan ocurrirá exactamente lo contrario que antes.
NOTA: Esto
sucederá según las masas y velocidades de A y B. (La evolución podría ser otra).
-En este caso posible- de la Fig 8-15,
A y B girarán; Se acercarán; Se alejaran; Volverán a acercarse…… y así
eternamente, haciendo bucles, circulares o elípticos cumpliendo las leyes de Kepler y
Newton.
Según ellas:
-El c.d.m, ocupará siempre el foco de
ambas elipses cuando el movimiento es elíptico (Caso más norma).
-Las órbitas estarán en un plano
(Serán planas)
Pues no
tenemos fuerzas transversales a las consideradas, que las hagan salir del mismo
plano.
-Los dos cuerpos girarán con la misma
velocidad instantánea angular “w”. Luego:
-El eje AB girará alrededor de c.d.m
con la misma “w”
Fig. 8-15ª
NOTA:Para los interesados
Vta y Vtb son las velocidades tangenciales de A y B
respectivas.
Wa y Wb velocidades angulares de A y B respectivas.
Fuerzas centrífugas :
Ma.Vta2/Ra = Mb.Vtb2/Rb
Ma.Wa2.Ra2/Ra=Mb.Wb2.Rb2/Rb
Ma.Wa2.Ra=Mb.Wb2.Rb y como
Ma.Ra=Mb.Rb,
Wa2=Wb2
Wa=Wb = w
CASO 4-Posibilidad
1
En este
caso,
-Las componentes centrales de las
velocidades Va y Vb son de alejamiento.
En contra,
tendremos:
-La” aceleración de aproximación”,
proveniente de la gravedad.
NOTA: Para los interesados
Fg = G(Ma.Mb) / d2 = Ma.aa =
Mb.bb (Fuerza =masa por aceleración)
Cálculo de las aceleraciones:
aa= G.Mb / d2
ab = G.Ma / d2
Ma y Mb masas de A y B aa y ab
aceleraciones de A y B
(Ra+Rb) = distancia “d”
Fig.8-16
Pues bien:
Si la
velocidad de alejamiento del cuerpo B, es igual o mayor que la de escape
respecto al cuerpo A y/o viceversa:(Explicada en temas anteriores)
-El cuerpo B se alejará
indefinidamente con una trayectoria parabólica, del cuerpo A
-Ambos cuerpos se alejará eternamente
CASO 4
Posibilidad 2
Si los
cuerpos A y B, tienen una velocidad de aproximación sensiblemente menor que la
de escape de uno respecto al otro:
-Acabarán juntándose y girando ambos
alrededor de su centro de masas, uno alrededor del otro formando un sistema binario.
Suponemos
que sus masas no puedan colapsar por la fuerte Fg, dada su proximidad.
NOTA:
Existen muchos sistemas de este tipo, tanto en planetas (Plutón-Caronte) como
estrellas binarias.
Si las masas
se mezclan (Poe ejemplo son gaseosas), las distancias pueden hacerse tan cortas que la Fg tiende a
infinito, mientras la distancia tiende a 0.
Se produce
una singularidad. O un colapso del sistema
Si las masas
colapsan, se puede crear un solo cuerpo de masa Ma+Mb con consecuencias diversas,
tales como:
-la formación de un planeta*.
-la explosión y formación de una
estrella*.
-La formación de un agujero negro
*
*(Veremos
esto más adelante)
Hemos visto
pues, que las posibilidades de comportamiento de dos cuerpos aislados e
interdependientes por su gravedad, son muchas.
Si consideramos un sistema así, pero formado por varios
cuerpos (Por ejemplo: Sistema solar), la complejidad de movimientos es
altamente compleja y muy difícil, o imposible de determinar con cierta
exactitud.
SISTEMA
BINARIO AISLADO TIERRA-LUNA
Ya hemos
tratado en anteriores capítulos, la variedad de movimientos de La Tierra. Recordemos
los más importantes:
-Traslación alrededor del sol
-Rotación sobre su eje NS
-Movimiento Giroscópico
-Nutación o bamboleo de su eje N.S
-Además, las perturbaciones de la
órbita, debidas a los planetas del
Sistema Solar.
De todo lo expuesto anteriormente, vamos a ver
que todavía la tierra tiene un movimiento mas. Se trata de un movimiento giratorio de traslación alrededor del
centro de masas “Luna-Tierra”, c.d.m.
Considerando el caso 3 – posibilidad 1 - pag 8 d,e este capítulo.
-El sistema Tierra Luna cumple todas las
condiciones expuestas en él.
-Ambas giran alrededor del c.d.m. en
órbitas variables. Ya que:
-La órbita lunar es una elipse (Casi circular), por
tanto luna y tierra se acercan y alejan en su circunvalación.
-El apogeo lunar es de 406.000Km
-El perigeo es 356.000Km
Figura W
-4-8/2 Wikipedia retocada
Ver Fig. W
8-4/1 Wikipedia retocada. Y Fig 8-17
De todas las
ecuaciones que hemos desarrollado anteriormente, podemos deducir el período de
giro “T” de La Luna alrededor de la
tierra. Fig. 8-17
NOTA: Para los interesados
VL = √ G.Mt/d = 1.020 m/seg = 3.672 Km.h
w =velocidad angular = VL/d = 2,66x10-6 rad./seg
VL = 2.π.d
/ T T = 28,7 días
T=
Período o tiempo en dar la luna una vuelta a la tierra.
Este “T” es igual al de la tierra alrededor del c.d.m
Así pues:
-La luna no gira alrededor del centro
de la tierra, sino alrededor del c.d.m-centro de masas-
-Lo mismo hace la tierra y en el
mismo período de 28,7 días
*********************************************************************
ALEJAMIENTO
DE LA LUNA RESPECTO A LA TIERRA
Considerando
todo lo dicho a lo largo de este capítulo, la luna atrae hacia sí a las masas
terrestres (hasta 20cm de abombamiento de tierra, en algunos casos, medido por
satélites). Pero sobre
todo, atrae y mueve, por su fluidez, a las masas oceánicas, provocando las
“mareas”. Este
abombamiento, se va moviendo a la vez que la luna gira, arrastrándolo y provocando una gran fricción de las masas en movimiento.
Esto provoca
dos principales efectos mutuos:
-La tierra se va frenando debido a la
energía de fricción
Energía que pierde continuamente
con estos abombamientos en continua rotación.
-Su energía de rotación disminuye, pues se consume en esa fricción (Finalmente calor)
-Cada vuelta frena su rotación, por
tanto cada día es más largo.
-Llegara un momento en que luna y
tierra se sincronicen y giren (Rotación terrestre) a la misma velocidad
angular.
-Ya no habrá mareas y los días serán
de 27,8 días
-El momento angular del sistema
luna-tierra, no varíará.
Por tanto,
para compensar la pérdida de momento de giro de la tierra,
-La luna debe de aumentar el suyo
(Masa lunaxdistancia). Lo cual se consigue aumentando la distancia
“d” ya que su masa su masa no varía.
Asi
pues:
-La luna está cada vez más lejos de
la tierra
Nota: Las distancias de precisión a
la luna, conseguidas con láseres incidiendo en espejos colocados por los
astronautas, han detectado que dicho alejamiento
es de 38mm/año
Fig W-8-4.3
Wikipedia corregido
SISTEMA SOL-TIERRA
Los mismos
argumentos utilizados para el sistema Tierra-Luna podemos utilizarlos para el
sistema Tierra –Sol, con lo que los
movimientos
anteriormente citados son más complejos.
Nada en la física astronómica es exacto. Los parámetros que influyen en ella son tan
numerosos que sus interacciones hacen imposible una formulación exacta. Además,
tratándose de sistemas continuos, siempre en movimiento, las ecuaciones
diferenciales son necesarias y aún así se pueden plantear, pero su resolución
es enormemente difícil, por no decir imposible.
-El sol gira, a la vez que lo hace la
tierra alrededor de su c.d.m.
Esto
significa, que la tierra mueve al sol, haciéndole girar
Fig. W-8-4.4
Wikipedia reformada.
Si además
consideramos la luna, el problema sigue complicándose aún más.
Fig. W 8-4.5
Wikipedia modificada.
En este
caso, se produce un frenado de la rotación de la tierra, por el mismo efecto
marea (Terrestre-marítima). Esto aumenta la velocidad de ralentización de la
tierra.
Fig.W 8-4.6
Wikipedia modificada
Ahora
imaginemos todo el sistema solar.
-¿Es posible encontrar una ecuación
general que prevea todas estas quasi infinitas variantes?
********************************************************************
Aquí dejo la
pregunta y el tema 8-4
Entrada Nº 43
Sistema gravitacional de dos cuerpos,
Ensayocosmologico.blogspot.com bayodjose@gmail.com
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